위상 감쇄 채널에서의 약한 측정 및 보정회전 기반 양자 고밀도 전송 프레임웍

1. 서 론

양자 고밀도 코딩은 Bennett CH와 Wiesner SJ(Bennett et al., 1992)에 의해 제안된 방식으로, 초기에 송신자와 수신자 사이에 공유된 얽힘 상태의 큐비트를 이용하여, 송신자가 전송하고자 하는 데이터를 보유하고 있는 큐비트에 양자 연산을 통해 인코딩하게 되면 양자 얽힘 상태의 특성으로 수신자의 큐비트도 그에 따라 변하게 되는 성질을 이용한다. 그 후 수신자에게 전송하여 수신자가 가지고 있던 큐비트와 함께 측정을 수행하면 송신자가 단일 큐비트를 보내는 것만으로도 고전 데이터 2비트가 전송된다. 양자 고밀도 코딩은 얽힘 상태의 특성을 사용하지 않으면 구현될 수 없으며 Mattle 등(Mattle et al., 1996)은 광학 실험을 통해 얽힌 광자를 사용하여 양자 밀도 코딩을 실험적으로 구현하였다. 양자 고밀도 코딩으로 전송 가능한 고전 데이터의 양은 관련된 얽힘 상태의 정량적 특성으로 결정된다. 이때, 열린 계에서 양자 상태는 필연적으로 외부 환경의 영향을 받게 되고(McMahon, 2007), 이로 인해 결어긋남(decoherence)이 발생할 수 있다. 환경의 노이즈 채널로 인해 발생하는 현상에는 진폭 감쇄(Amplitude Damping, AD), 위상 감쇄(Phase Damping, PD), 진폭-위상 감쇄 등이 있다.

내재된 환경의 노이즈로 인해 발생하는 결어긋남은 얽힘 상태를 붕괴시키는 요소로 작용하게 되는데, 이를 양자 얽힘 돌연소멸(Entanglement Sudden Death, ESD)라고 한다(Yu et al., 2004; Almeida et al., 2007). 얽힘 상태가 붕괴될 경우 양자 밀도 코딩으로 전송 가능한 정보량이 감소하게 되므로 ESD 현상을 막고 얽힘 상태를 보호하는 것이 양자 통신을 구현하는데 중요한 요소라고 할 수 있다. 본 논문에서는 외부 환경에 시간 상관을 따르는 위상 감쇄 노이즈 채널이 존재할 때, 약한 측정 - 보상 회전 기법을(weak measurement - correction rotation, WM-CR) 통한 양자 밀도 코딩의 용량 개선 프레임웍을 제시한다. <Figure 1>의 (a)는 위상 감쇄 노이즈 채널의 영향을 받는 일반적인 양자 밀도 코딩 다이어그램이며, (b)는 본 연구에서 제안하는 WM-CR기법을 사용한 밀도 코딩 다이어그램이다.

Figure 1.

The Proposed Quantum Dense Coding and a General Quantum Desnse Coding

보다 자세한 설명은 제3장에서 설명하며, 제안 프레임웍의 효과를 확인하기 위해 여러 사례별로 밀도 코딩 수행 전의 밀도 연산자의 충실도(fidelity)와 밀도 코딩 후의 전송 용량을 비교한다. 본 논문의 구성은 다음과 같다. 다음 장에서는 다양한 노이즈 채널의 영향을 감소시키는 양자 컴퓨팅 기법들에 대한 선행 연구를 제시하며, 제3장에서는 양자 밀도 코딩과 개선 프레임웍을 설명한다. 제4장에서는 제안된 프레임웍의 시뮬레이션 결과를 통해 우수성을 실증한다.

2. 선행연구 고찰

양자 회로는 구현과정에서 실제 물리현상에서 발생하는 다양한 노이즈로 인하여 결어긋남이 일어날 수 있으며, 이를 막기 위한 연구가 활발히 진행되고 있다. 양자 통신 측면에서 양자 노이즈 보정을 위한 다양한 기법들이 제안되어 왔으며 이를 양자 시스템에 적용하여 초기 양자 상태를 온전히 전송하려는 시도가 있어 왔다. 대표적인 방법으로는 양자 되돌림 연산 기법 (quantum measurement reversal, QMR) 이 있다. 단일 큐비트 환경에서 Korotkov(Korotov et al., 2010) 는 양자 되돌림 연산을 사용하여 노이즈 채널에 의한 결어긋남 현상(decoherence)을 감소시키는 방법을 제안했으며, Lee(Lee et al., 2011)는 광학계를 통해 QMR 기법의 실험실증에 성공하였다. 위 연구 결과를 바탕으로 Kim (Kim et al., 2012)은 양자 상태의 일부만 붕괴시키는 약한 측정을 수행한 두 개의 큐비트를 진폭 감쇄 채널을 적용한 후 양자 되돌림 연산을 사용하는 WMR(weak measurement and reversal) 기법을 제시하였다. Li(Li et al., 2019)는 시간 상관 진폭 감쇄 채널에서 WMR 기법을 사용하여 양자 통신 프로토콜의 노이즈가 억제됨을 충실도를 사용하여 나타내었으며, Wang(Wang, 2023)은 WMR기법을 사용하여 시간 상관 진폭 감쇄 채널에서 양자 고밀도 전송 용량과 양자 순간이동의 충실도가 향상됨을 연구하였다. 다만 Li(Li et al., 2017; Li et al., 2021)의 연구로 WMR 기법이 진폭 감쇄 노이즈 채널에서는 효과적이나, 위상 감쇄 노이즈 채널에서는 그 효과가 실증적으로 미비한 것으로 나타났다. 따라서, 본 연구에서는 이러한 위상 감쇄 노이즈 채널을 고려한다.

Table 1.

Existing Studies Considering Quantum Noise Channel

위상 감쇄 채널에 대해 효과적인 보정 기법으로 제안된 것으로는 양자 피드백 기법이 있다. 양자 노이즈 채널을 통과한 큐비트에 측정 강도를 설정하여 약한 측정을 수행한 후, 감쇄된 위상에 맞는 보정 연산을 사용하여 초기 상태에 가깝게 복원하는 기법이다. Braczyk(Braczyk et al., 2007)는 블로흐 구(Bloch sphere)에서 축과 직교하지 않는 단일 큐비트에 위상 감쇄 채널을 적용하여 축 측정과 z축 보정을 실시하는 기법을 제안하였으며, Gillett는 축 측정 후, 축 보정을 실시하여 충실도가 개선됨을 실험실증에 성공하였다(Gillett et al., 2010). Harraz는 단일 큐비트 상황에서 모든 축에 대해 약한 측정과 보정 회전을 실시했을 때 최적의 측정 강도와 회전 강도에 대해 연구하였다(Harraz et al., 2019).

본 연구에서는 이러한 연구들에 기반하여, 다수의 큐비트로 확장하여, 얽힘 상태의 큐비트를 사용하는 회로에서 위상 감쇄 노이즈 채널의 영향을 효과적으로 보정하는 알고리즘을 제안한다. 특히, 약한측정과 보정회전을 동시에 고려하여, 단일 측면을 고려한 기존의 알고리즘들의 한계를 개선하였다. 이를 통해, 노이즈를 교정하는 근사 최적해를 도출하고, 다른 기법들과 비교하여 위상 감쇄 노이즈를 보다 효과적으로 보정함을 보였다.

3. 약한 측정 및 보정 회전을 갖는 위상감쇄 보정 채널 프레임웍

<Figure 2>와 <Figure 3>는 각각 양자 고밀도 코딩에 약한 측정-보정 회전 프레임웍을 적용한 양자 회로 다이어그램 및 개략도이다. 본 프레임웍에서는 첫 번째로 양자 고밀도 코딩을 위해 얽힘 상태인 초기 상태 ρ₀를 설정하고 위상 감쇄를 발생시킨다. 이후 약한 측정을 통해 계의 변화 상태를 측정하고, 비선형 기반의 보정회전을 통해 초기 상태로 복원하는 과정을 거친다.

Figure 2.

The Quantum Circuit of Dense Coding with Weak Measurement and Correction Rotation

Figure 3.

The Schematic Diagram of WM-CR Framework

이후 양자 고밀도 코딩에서 사용되는 양자 게이트를 이용하여 인코딩을 진행한다. 마지막으로 인코딩된 밀도 연산자 $$ {\rho }_{CR}^{*}$$과 초기상태 ρ₀을 충실도(Fidelity) 및 홀레보 한계(Holevo bound) (Holevo, 1998)를 사용해 비교함으로서 제안된 프레임웍의 효과를 확인한다. 본 장에서는 각 세부 모듈인 위상 감쇄채널과 초기상태 설정, 약한 측정, 보정 회전, 충실도에 대해 설명한다.

3.4 양자 고밀도 코딩

양자 고밀도 코딩 과정은 <Figure 2>에서 제시한 다이어그램을 따른다. 우선 큐비트 |ψ_a>와 |ψ_b>를 아다마르 게이트(hardamard Gate)를 사용해 얽힘 상태로 만들고 송신자 A와 수신자 B가 공유한다. 그 이후 A가 가진 큐비트 |ψ_a>를 양자 게이트를 사용해 인코딩하여 B에게 송신한다. B는 자신이 가진 큐비트 |ψ_b>와 A로부터 받은 큐비트를 같이 측정하여 A가 보내고자 하는 고전 데이터를 확인한다. 2비트(bit) 고전 데이터 인코딩을 위해 사용하는 양자 게이트들은 <Table 2>와 같다.

Table 2.

Encoding Rules of Quantum Dense Coding

초기 밀도 연산자 ρ₀을 밀도 코딩했을 때, 변환된 밀도 연산자 ρ*는 아래와 같이 나타낼 수 있다(Hiroshima, 2001).

$\[ {\rho }^{\mathrm{*}}=\frac{1}{4}\sum _0^4\left({\sigma }_i\otimes I\right){\rho }_0\left({\sigma }_i^{†}\otimes I\right) \]$

(21)

양자 고밀도 코딩의 전송 용량, 즉 전달 가능한 고전 데이터 비트 수 χ는 홀레보 한계를 사용하여 식 (22)와 같이 표현한다.

$\[ \begin{array}{c}\chi =S\left({\rho }^{\mathrm{*}}\right)-S\left({\rho }_0\right)=4\frac{\left(a^{\mathrm{\text{'}}}+c^{\mathrm{\text{'}}}\right)}{2}{\log }_2\left(\frac{\left(a^{\mathrm{\text{'}}}+c^{\mathrm{\text{'}}}\right)}{2}\right)+\sum _i{\lambda }_i{\log }_2{\lambda }_i\\ {\lambda }_{\mathrm{1,3}}=a^{\mathrm{\text{'}}}\pm b^{\mathrm{\text{'}}}\\ {\lambda }_{\mathrm{2,4}}=c^{\mathrm{\text{'}}}\pm d^{\mathrm{\text{'}}}\end{array} \]$

(22)

이때 ρ^*는 밀도 코딩 된 밀도 연산자, ρ₀는 초기 상태의 밀도 연산자이다. S는 폰 노이만 엔트로피(Von Neumann entropy)로 밀도 행렬의 고유값 λ_i를 사용하여 식 (23)과 같이 표현한다.

$\[ S\left(\rho \right)=-\sum _i{\lambda }_i{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_2{\lambda }_i \]$

(23)

이를 통해, 전송용량을 측정하고 비교하여 전송 프레임웍의 우수성을 확인한다.

4. 보정 시뮬레이션 및 기존 기법들과의 비교

본 논문에서 사용한 WM-CR 프레임웍의 효과를 검증하기 위해, 3장에서 기술한 임의의 위상 감쇄 노이즈를 설정한 후 양자 충실도와 양자 고밀도 코딩 전송 용량을 구해 보았다. 복원된 밀도 연산자가 초기상태와 얼마나 유사한지를 초기 밀도연산자 ρ₀와 프레임웍을 사용한 밀도연산자 ρ_cr사이의 충실도를 통해 확인하고, 위상 감쇄된 밀도연산자와의 양자 고밀도 코딩 전송 용량을 홀레보 한계를 사용하여 비교하여 개선 효과가 있는지 확인해 보았다.

우선 WM-CR 기법에서 사용되는 약한 측정 강도 와 보정 회전 각도의 최적해를 근사하기 위해, 본 연구에서는 식 (25)와 같은 목적함수와 제약사항으로 구성된 비선형 최적화 모델을 사용하였다.

Table 3.

Definition of Parameters and Decision Variables

목적함수는 2개의 큐비트가 얽힘 상태일 때의 최대 전송용량 χ(ρ₀)와 WM-CR 후의 전송용량 χ(WMCR(ρ_pd,θ,η))의 편차 제곱합을 최소화하는 함수이다. g(θ)=cos(θ/2)는 약한 측정을 수행하기 위해 측정강도의 설정하는 함수로서, 제약조건을 통해 측정 강도를 범위로 제한하여 약한 측정을 수행할 수 있도록 설정하였다. 만약 g(θ)=0일 경우 측정이 되지 않으며, g(θ)=1일 경우 일반적인 사영 측정 연산자가 된다. 0<g(θ)<1일 때 약한 측정으로 기술된다. 목적함수를 최소화 하는 비선형 해를 도출하기 위한 솔버로서 MATLAB 2023 Rb버전의 내장 비선형 함수인 fmincon함수를 사용하였다. μ와 r을 0~1 범위내에서 0.01씩 증가시키며, 생성한 샘플기반의 영역에서 해당 솔버를 사용하여 결정변수의 해를 구하였다. 도출된 약한 측정과 보정 회전의 각 조합에 대한 비선형해는 <Table 4>에서 확인할 수 있다.

Table 4.

Corrected Rotation Angles using Nonlinear Programming

위상 감쇄 채널에서 양자 고밀도 코딩의 전송용량을 극대화하기 위해 각 조합 별 해를 사용하여 r값에 대한 충실도와 전송 용량을 도출하였으며, 그 중 μ의 중간값인 μ=0.5일 때의 충실도 및 전송 용량은 <Table 5>와 <Table 6>에서 확인할 수 있다.

Table 5.

Fidelity using the Proposed Framework

Table 6.

Transmission Capacity using the Proposed Framework

<Figure 4>는 μ=0.5일 때 r을 0부터 1까지 0.01씩 증가시키며 시뮬레이션한 그래프이다. 위에서 확인했던 대로 Z-Y>X-Z>X-Y=Y-X=Y-Z=Z-X 순으로 같은 r값을 가질 때 충실도가 1, 전송용량이 2에 가까운 것을 알 수 있다. 따라서, 해당 시뮬레이션 상황에서 약한 측정은 Z축, 보상 회전은 Y축, θ=0.1, η=0.7854로 WM-CR기법을 적용하면 위상 감쇄 채널의 영향을 최소화하고 전송 용량을 극대화 할 수 있다. 이는 블로흐 구에서의 초기 위상 셋팅값과 연관되어, 해당 위상에서 Z축과 Y축에 대한 회전 이동간 변환이 주요 요인으로 작용하였음을 보여준다.

Figure 4.

The Fidelity and Transmission Capacity

앞서 도출해낸 조합 및 최적해의 효과를 확인하기 위해 다른 노이즈 감소 기법과 비교해 보았다. <Figure 5>는 시간 상관 계수 μ, 위상 감쇄 채널의 세기 r에 따른 양자 고밀도 코딩 전송 용량의 변화를 나타낸다. 각각 (a) 위상 감쇄 채널만 존재하는 경우, (b)WMR기법을 사용한 경우, (c)WM-CR기법을 Z-Y조합에 임의의 값으로 파라미터를 설정한 경우(θ, γ=0.2), (d) WM-CR기법을 Z-Y조합에 도출된 해를 적용한 경우이다.

Figure 5.

Transmission Capacity of Dense Coding in Comparison Models

(b)에서 사용된 WMR기법(weak measurement and measurement reversal)은 약한 측정과 양자 되돌림 연산을 통해 진폭 감쇄 노이즈를 억제하는데 효과적인 기법이다. 본 연구에서는 이러한 WMR기법 중 약한 측정과 회전보정 기법을 동시에 융합하여 사용하므로, 약한 측정에 기반한 WMR기법을 사용하는 비교군을 추가적으로 고려하였다. 또한 (c)와 (d)의 경우 동일하게 WM-CR기법을 사용하지만 최적해를 사용한 경우와 아닌 경우를 비교해보기 위해 시뮬레이션을 진행하였다. (a)와 (b)를 비교해 봤을 때 WMR기법의 경우 위상 감쇄 채널의 영향만 받은 경우보다 전송 용량이 감쇄한 것을 볼 수 있다. 따라서 진폭 감쇄 채널에서는 효과적이나 위상 감쇄 채널에서는 개선 효과가 없다는 것을 확인할 수 있다. (c)의 경우에도 위상 감쇄 채널 노이즈의 영향을 감소시키고 전송 용량이 향상되었지만, 최적해를 사용한 (d)에 비해 개선 효과가 떨어지는 것을 확인할 수 있다.

시뮬레이션 결과 본 논문에서 제시한 약한 측정과 보상 회전 프레임웍을 사용하면 위상 감쇄 채널이 양자 밀도 코딩 전송 용량에 미치는 영향을 최소화 할 수 있다는 것이 확인되었다. 약한 측정과 보상 회전을 통해 위상 감쇄 채널로 변한 양자 상태를 초기 상태로 복원시킬 수 있다는 것은 충실도를 통해서 확인할 수 있었고, 초기 상태로 복원됨으로써 전송 용량 또한 보존할 수 있다는 점도 홀레보 한계를 사용하여 확인할 수 있었다.

5. 결론 및 향후 연구

본 연구에서는 양자통신에서 일어나는 여러가지 노이즈 타입 중, 위상감쇄 채널을 대상으로 노이즈 보정에 대한 프레임웍을 제시하였다. 위상 감쇄 채널은 블로흐 구 상에서 각도의 변환 등으로 측정 시 위치가 달라지는 노이즈이며, 진폭 감쇄 채널과 함께 실제 양자통신의 구현에서 주요하게 나타나는 노이즈이다.

본 연구에서는 이를 위하여, 위상 감쇄를 감지할 수 있는 약한 측정 및 이를 토대로 회전 보정을 하고, 분석하는 기법을 전개하였다. 제안된 프레임웍의 우수성을 실증하기 위하여, 시뮬레이션을 통해 여러 종류의 위상 감쇄를 실험하였고, 도출한 방법론을 통하여 그 효과를 보여주었다. 본 연구에서 제안한 WM-CR기법과 진폭 감쇄 채널에서 효과적인 기법으로 제안된 WMR 기법, 파라미터 도출이 효율적이지 않은 WM-CR기법을 비교했을 때 위상 감쇄 채널의 영향을 효과적으로 제거함을 확인할 수 있었다.

본 논문에서 제안된 프레임웍은 양자 고밀도 코딩에서는 전송용량을 보존하는데 효과적이나 양자 순간이동(quantum teleportation), 양자 임베딩(quantum emmbeding)과 같이 큐비트가 가진 정보량의 보존이 중요한 분야에서의 활용 가능성에 대한 확장 연구가 필요하다(Lee and Banerjee, 2023). 또한, 본 논문에서는 Bell state를 사용하여 양자 밀도 코딩 전송 용량이 보존되는지 확인하였으나, 다중의 큐비트를 다루는 Werner state나, GHZ state, W state 등의 확장의 여지를 남긴다. 이는 다수의 큐비트를 고려한 위상감쇄 보정 프레임웍을 위한 향후 연구로서 여겨진다.

Acknowledgments

This research study was supported by The Basic Science Research Program through National Research Foundation of Korea (NRF), funded by the Ministry of Education, S. Korea (grant number: NRF-2021R1A2C1008647).

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