전환가격 재조정 조건을 갖는 전환사채의 평가

3.1 혼합된 할인 모형: Blended Discount Model

채권과 지분상품의 요소를 모두 포함하는 복합금융상품의 특성은 전환사채 가치평가의 주요 이슈이다. 전환사채 발행을 위해 협의된 조건들이 전환사채의 채권과 지분 상품적인 측면 각각 또는 모두에 영향을 미칠 수 있기 때문이다. 이런 이유에서 많은 전환사채 평가 모형이 부채요소와 지분요소를 구분하여 평가하고 있으며 Olsen et al.(2002)은 채권과 지분상품 각 요소에 서로 다른 할인율을 적용하여 평가하는 모형들을 아울러 ‘혼합된 할인모형(Blended Discount Model)'이라는 카테고리로 구분하고 있다.

본 연구는 혼합된 할인모형인 Probability of conversion-weighted discounting(GS모형)과 Equity and bond cash flow-weighted discounting(TF모형)을 기반으로 두는 수치적 평가 방법이므로 해당 모형들의 주요한 내용을 기술한다. 해당 모형들에 의한 평가에 있어 기초자산인 주식 가격은 잘 알려진 블랙-숄즈 모형을 따름을 가정한다.

여기서 r_g = r - dv로 주가의 무위험 증분율을 나타내며 r는 무위험 이자율, dv는 배당수익률이다. σ는 주가의 변동성이며 W = W(t)는 위험중립 측도를 갖는 위너 확률과정이다. 실무적으로 r과 dv를 시간에 의존하는 함수로 바꾸어 이자율의 기간구조를 반영할 수 있는 확장된 블랙-숄즈 모형을 적용할 수 있으나 논의의 편의를 위하여 수평의 이자율 기간구조를 가정한다.

3.2 GS모형

Goldman Sachs의 Emanuel Derman 등에 의하여 1994년 제시된 모형이며 실무적인 평가 방법을 자세히 기술하고 있다. 주가의 이항모형을 바탕으로 각 노드에서 전환확률과 신용조정할인율을 생성하며 이전 노드와 가치 비교를 통하여 전환권과 발행자의 콜옵션 및 보유자의 풋옵션을 유연하게 고려할 수 있는 장점이 있다. 전환사채는 위험채권의 속성을 내포하고 있다. 그러므로 무위험 할인율을 적용하는 주식 파생상품의 평가와 달리 적용되는 할인율은 시간에 의존적일 뿐만 아니라 주가에 따른 차이도 갖는다. 혼합된 할인모형은 이를 반영하여 시간과 주가의 레벨에 따라 할인율을 차등하여 적용하는 모형이다. GS 및 TF모형은 주식으로 전환되는 경우 할인에 적용되는 이자율에 무위험 이자율 r을 가정한다. 그러나 전환이 되지 않는 영역은 주식과 위험채권의 두 가지 요소를 동시에 지니고 있으므로 무위험 이자율만으로 전환사채를 할인하는 것은 적절하지 못하다. 예를 들어 주가가 극단적으로 낮은 심외가격(Deep out of the money)이라면 전환되지 않을 것이 확실하므로 발행자의 신용스프레드 r_c를 포함한 위험이자율 r+r_c로 할인하는 것이 적절하다. 주가가 양극단에 속하지 않는 경우 두 가지 상태가 중첩되어있다고 볼 수 있다. GS모형은 이런 경우 무위험 이자율과 위험이자율 사이의 조정된 이자율을 통하여 할인하는 방식을 취하며 이를 신용조정할인율(Credit-Adjusted Discount Rate)이라 정의한다. 전환확률 q가 주어진 노드에서 주식으로의 전환이 일어날 확률이라고 한다면 1 - q는 채권으로 유지될 확률을 의미한다. 이 경우 d^r을 무위험할인율, d^c를 위험할인율이라 할 때 신용조정할인율 d^a은 qd^r + (1-q)d^c과 같이 가중평균을 통해 계산된다.

전환이 발생하는 경우는 전환확률 q = 1이 된다. 조기상환의 경우는 매수자의 풋옵션 행사와 발행자의 콜옵션 행사가 있다. 풋옵션 행사의 경우는 일반적으로 채권의 신용리스크의 확대에 의해서 조기상환이 이루어지며 노드의 전환확률 q는 0이다. 콜옵션의 행사의 경우 GS모형의 원 논문에서 전환확률 q를 0으로 판단하여 신용조정할인율을 적용한다.

GS모형은 Cox et al.(1979)에서 제시한 방식에 따라 주가의 미래 움직임을 이항트리로 생성한다. 배당율을 차감한 증분율 r_g, 변동성 σ는 상수로 가정할 경우 이항트리의 산식은 아래와 같다.

전환사채의 평가를 위하여 트리의 각 노드(i,j)에 주가 S_i,j, 옵션의 가치V_i,j 이외에 전환확률 q_i,j과 신용조정할인율 $$ d_{i,j}^a$$이 추가된다. 특히 주목할 점은 이들은 주가의 상승, 하락 확률과 달리 엣지에 부속된 속성이 아닌 ‘노드의 속성’이다. 이는 신용조정할인율이 상태가격임을 의미한다. 주가의 가격트리가 생성되면 이를 기초로 전환사채의 가격트리를 부록 A의 백-워드 과정에 따라 구성할 수 있다. <Figure 1>에서 V는 전환사채의 가격, H는 보유가치, f_j는 쿠폰 등의 t_j시점 채권의 현금흐름을 의미한다.

Figure 1.

Binomial Tree Model in GS Model

BC가 콜옵션의 행사가격이고 BP가 풋옵션의 행사가격인 경우 발행자는 BC가 전환사채의 보유가치 H보다 작을 경우 콜옵션을 행사한다. 그러나 콜옵션이 행사된 상태에서도 투자자는 여전히 풋옵션과 주식전환을 선택할 수 있으므로 전환사채의 가치V는 전환가치 P = αB, 풋옵션가치 BP, min[H, BC ] 중 큰 금액으로 정해진다(Derman, 1994; Tsiveriotis and Fernandes, 1998). 여기서 P는 패리티(Parity), α는 전환비율을 의미한다. 결과적으로 전환사채의 가치V의 식은 아래와 같다.

3.3 TF모형

이 모형은 Morgan Stanley의 Kostas Tsiveriotis와 Chris Fernandes가 “Journal of Fixed Income”에 발표한 모형(Tsiveriotis and Fernandes, 1998)이다. 전환사채를 지분(equity)과 이자율에 기초한 파생상품으로 보고 지분가치와 채권가치를 구분하여 전환사채의 가치를 평가하며 이항트리를 사용하는 GS모형과 다르게 TF모형은 유한차분 방법을 사용한다.

전환사채를 지분증권(equity)을 기초자산으로 하는 조건부 청구권이라고 한다면 블랙-숄즈 방정식에 따라 다음과 같이 전환사채의 가치V와 순수채권가치 U를 주가와 시간의 함수로 표현할 수 있다.

여기서 r_g는 주가의 위험중립 증분율, r은 무위험 이자율, r_c는 발행자의 신용스프레드, $$ f\left(t\right)={\Sigma }_j{f}_j\delta \left(t-t_j\right)$$, f_j는 t_j시점 채권의 현금흐름으로 t_j∈cash-times일 경우 f_j > 0이고 그렇지 않을 경우 f_j = 0이다. δ(t - t_j)는 Dirac의 델타함수이다. 따라서 유한차분식에서 $$ \frac{1}{\Delta t}$$의 역할을 한다.

식 U로 표현한 순수채권가치(이하 COCB: Cash Only part of the CB)는 TF모형에서 설정된 가상의 파생증권이다. COCB의 보유자는 전환사채에서 발생하는 모든 현금흐름에 대한 권리를 갖지만 합리적인 의사결정하에서 전환된 지분증권에 대한 권리는 보유하지 못하게 된다. 위 수식의 정의에 따라 COCB의 가격U는 CB의 가격V에 영향을 준다. COCB는 CB와 동일한 기초자산 S를 갖는 파생상품이므로 COCB의 가격 U는 CB의 가격 V와 마찬가지로 블랙-숄즈 타입의 편미분 방정식을 따르게 된다. 특히 COCB는 전환영역이 아닌 경우의 CB 발행자의 신용위험이 반영된 사채의 현금흐름 부분만을 표현하므로 COCB의 편미분 방정식은 V에 의하여 결정되는 전환경계를 벗어나면 0이 되며 그렇지 않은 영역은 위험이자율 r+r_c을 사용하여 발행자의 신용스프레드를 반영하고 있다. 전환사채의 전체가격 V에서 COCB의 가격 U만큼을 제외한 V - U부분은 지분증권에 속하므로 무위험 이자율 r로 할인되며 U부분은 위험이자율r+r_c로 할인된다. 이런 방식으로 U,V에 관한 두 편미분 방정식 (3), (4)은 매 시점 서로 영향을 주면서 자유경계(Free boundary)(Wilmott, 2007)를 내재적으로 생성한다(부록 A.1 V의 계산과정 참조). 즉 CB의 식 (4)는 내재된 조건에 따라 콜옵션, 풋옵션, 전환권이 아메리칸 옵션의 형태로 행사되는 경계를 정하게 되며 동시에 COCB의 가치는 이 경계를 벗어나면 0이 된다. 만기 시점T 에서 COCB의 가치U 와 CB의 가치V에 채권의 마지막 현금흐름 B(T)를 설정한 후 T = t_m시점에서 t₀까지 시간스텝 $$ \left[t_j,t_{j+1}\right], j=m-1,\cdots ,0$$별로 유한차분법을 사용하여 순수채권부분인 COCB의 식 (3)을 푼다. 구하여진 해를 CB의 식 (4)에 대입하고 시점의 현금흐름이 더해진 보유시의 가치 H를 구하고 이를 콜, 풋 그리고 전환조건과 비교하여 내재적으로 경계(자유경계: free boundary)가 매 시점 계산된다. 유한차분 방식은 이항트리 방법과 달리 직관적이지는 않으나 정밀도가 뛰어나며 전체 주가의 영역에서 해가 산출되므로 주가의 움직임에 따른 가격의 변화를 한 번에 파악할 수 있는 장점이 있다. 구체적인 수치화 과정은 논문 Tsiveriotis and Fernandes(1998) 또는 부록의 A.1을 참조하기 바란다.

4.1 강한 경로의존형 파생상품의 평가

파생상품의 평가에서 이러한 강한 경로 의존을 갖는 옵션을 룩백(Look-back)형태의 옵션이라 한다. 이 조건은 상품의 수익구조(Payoff)에 영향을 주거나 상품의 약관에 명시된 부속된 조항을 재설정한다. 전환사채의 전환가격 재조정 조건은 후자에 해당하며 기초자산이 미리 설정된 가격을 트리거시 이 가격이 새로운 전환가격으로 재설정된다. 가능한 시점과 재조정 가격이 여럿 있는 경우 또한 마찬가지 방식으로 전환가격을 재설정한다. 경로의존변수 I(S,t)는 아래에 기술한 특징을 갖는다.

• 1) 기초자산의 이력과 시점의 함수(또는 작용)로 표현: I(S,t) = F(S_(0,t],t)
• 2) 파생상품의 만기수익구조에 직접 적용되는 경우: V(S, T, I) = Payoff it (S,I)
• 3) 상품에 부속된 조항(예: 전환가격)이 바뀌는 경우: 전환사채의 재조정 조건
• 4) I(S,t)는 기초자산(주가)와 달리 그 자체로는 확산이 없다. 즉 2계 미분 $$ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial I^2}=0$$이다.
• 5) I(S,t)의 1계 미분 dI는 경로를 관측하여야 하는 시점을 제외하면 0이다. Wilmott(2007) Vol 2, Ch 24에 의하면 실무적이고 또는 법적인 이유로 경로의존변수 I(S,t)는 연속변수가 될 수 없음을 설명한다. 따라서 식 (5)는 경로변수와 관측시간이 유한개로 이산화된 연립편미분 방정식 계가 된다.

전환사채의 경우에는 전환가격 재조정 시점 t_j∈refix-times를 제외한 모든 시점 t에서 dI = 0이다. 1)에서 $$ F\left(S_{\left(0,\left.t\right]\right.},t\right)={\int }_0^{t}f\left(S,u\right)du$$로 표현이 가능한 함수 가 명시적일 경우는 경로관측시점 t에서 dI = f(S,t)dt이다. 그러나 3)의 경우 상품의 부가조건을 변경시키는 일종의 작용으로 간주되며 이를 dI = Adt로 표현하자. 즉 A(S,t)는 경로관측시점 t에 발동하는 액션이다. 파생상품 V의 미분식 $$ dV=\frac{\partial V}{\partial t}dt+\frac{\partial V}{\partial S}dS+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial S^2}{\sigma }^2{S}^{2}dt+A\frac{\partial V}{\partial I}dt$$을 r Vdt 또는 혼합된 할인모형의 경우 경계에서 r Vdt 및 (r+r_c)Vdt를 모형에 준하여 일치시켜서 유도되는 식은 시간 t와 2개의 공간변수 S,I에 관한 퇴화된($$ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial I^2}=0$$) 2계 포물형 편미분 방정식이다. 중첩된 할인을 고려하지 않은 룩백조건을 갖는 옵션 V = V(S,t,I)의 편미분 방정식은 아래 식과 같다.

식에서 경로의존변수 I = I(S,t)는 V에 대하여 2계 미분인 확산항이 없이 1계 미분항 $$ A\frac{\partial V}{\partial I}$$만 존재한다. 이는 I가 주가 S에 종속되어 있으며 S가 움직이는 각 경로에 가능한 값의 이력 I(S,t)이 1차원적으로 나열됨을 의미한다. 경로변수 I가 연속함수일 경우 추가된 대류항(convection term) $$ A\frac{\partial V}{\partial I}$$이 매 시점 존재하게 된다. 이에 필요한 수치계산의 정밀도를 높이기 위하여 유한체적법(finite volume method)을 사용할 수 있다. 그러나 언급하였듯이 관측시간의 간격이 크며 전환 가능한 가격들이 유한개이므로 경로변수 I를 상태를 반영할 정도의 유한개(k)로 한정한다. 주가의 확률미분방정식(식 (1))을 수치화하는 k개의 이항/삼항트리 또는 유한차분 그리드를 준비하고 각각의 그리드에서 독립적으로 파생상품 가격들 V₁,⋯, V_k의 백-워드 과정을 진행한다. 경로관측 시점 t_j에 도달한 경우 C들을 대상으로 액션 A에 의한 갱신(Updating rule)을 적용하는 작업(식 (6))을 한다. 경로의존형 파생상품의 평가와 업데이트 방법은 Wilmott(2007), Vol 2, Ch 26 floating strike lookback swap의 예제에 자세히 기술되어 있다. 관련된 논문으로는 Kjaer(2004)와 Luo and Shevchenko(2013)을 참조할 수 있다.

<Figure 2>는 전환가격 재조정 조건에 의하여 변수 I가 파생상품의 식에 추가되어 가격함수 V의 차원이 늘어남을 보여준다. k-개의 가격함수 V_l, l = 1,⋯,k는 V₁을 기준으로 순차적으로 V_l+1의 영역 S ≤ C_l을 V_l의 값으로 교체한다. 이를 위해 유한개로 한정한 경로의존변수 $$ I_l, l\in \left\{1,\cdots ,k\right\}$$가 갖는 값의 개수만큼 존재하는 k개의 유한차분을 위한 그리드들이 필요하다. 각 그리드마다 가격함수 V_l, l = 1,⋯,k를 가정하자. l번 그리드는 평가시점의 경로변수 I의 값이 l번 그리드의 전환가격 C_l임을 가정한 조건부 상품을 평가하는 유한차분 그리드가 된다.

Figure 2.

Pricing Convertible Bond with Refixing Clauses

Feynman-Kac formula(Björk, 2009)를 적용하면 가격함수 V(S,t,I)의 편미분 방정식의 해는 전환가격 C_l를 평가시점의 조건부로 갖는 가격함수 V(S,t|C_l)로도 표현할 수 있다.

위 식은 평균 연산자를 사용하여 간단히 표현된 식이지만 경로적분으로 표현하면, 주가, 시간, 경로변수 모두에 대한 적분이 또한 각 시점에 상품이 갖는 조건을 반영하여 중첩된 형태로 나타난다. 이는 V(S,t,C_l)가 조건부 가격이 되는 이유이기도 하다.

4.2 조건부 가격함수의 연립 편미분방정식과 Updating rule

전환가격 재조정 조건을 트리거하면 전환가격이 바뀌게 된다. 이후에도 주가가 하락할 경우 전환가격 재조정 조건에 부합하면 더 낮은 레벨로 바뀔 수 있다. 따라서 현재 전환가격 C_k를 기준으로 가능한 미래의 전환가격이{C₁,⋯,C_k} 될 가능성을 모두 고려한다. 상품의 약관에 명시된 가능한 전환가격을 크기 순서로 나열한 리스트를 L = {C₁,⋯,C_L}이라 하자. 변경될 수 있는 전환가격 C_l, l = 1,⋯,L를 조건으로 갖는 L개의 서로 다른 전환사채가 존재한다. 현재의 전환가격이 C_k인 전환사채의 조건부 가격을 V = V(S,t,C_l)라 정의하자. 전환가격 재조정 조건의 적용은 만기시점 t_n에서 시간을 거슬러 백-워드 과정 진행 중 전환가격 재조정이 가능한 시점이면서 주가 S가 전환이 가능한 구간 $$ \left(0,\left.C_1\right]\right.,\left(C_1,\left.C_2\right]\right.,\cdots ,\left(C_{k-2},\left.C_{k-1}\right]\right.$$에 해당될 경우 l = 1,⋯,k-1 순서대로 S ≤ C_l에 속하는 V(S,t,C_l)의 값으로 V(S,t,C_l+1)을 업데이트함을 의미한다. TF모형에 대하여 예를 들면, COCB와 CB의 가격함수U, V 모두에 대하여 t > 0일 때 아래의 연립 편미분 방정식과 이들의 연이은 교체과정으로 이를 표현할 수 있다. 여기서 U, V에 적용하는 작용소 L₁,L₂는 각각 식 (3), (4)를 의미하고 t^-는 평가 시점 t직전, t⁺는 직후를 의미한다.

5.1 전환가격 재조정 조건과 콜옵션 유무에 따른 전환사채의 공정가치 비교

<Figure 3>은 TF모형에 대하여 콜옵션의 유무, 전환가격 재조정 조건의 유무에 따른 전환사채의 가격 변화를 세로축, 주가를 가로축으로 둔 그래프이다. 왼쪽 그래프는 콜옵션 조건이 있을 때의 전환사채 가격의 그래프이며 오른쪽은 발행자의 콜옵션이 없음을 가정한 그래프이다. 검은 점선 refixing-floor는 전환가격 재조정 조건의 전환가격 하한인 7800 KRW을 가정했을 때의 전환사채 가격 그래프이며 이후 Updating rule을 통해 낮은 전환가격(그림의 라벨: refixing-floor)에서부터 차례로 영향을 주어 최종적으로 현재 전환가격 그래프(그림의 라벨: refixing-current, 검은 실선)를 생성한다. 상세히 설명하면, <Figure 3>은 평가일인 2020년 6월 17일에 전환가격의 하한인 7800 KRW를 기준으로 한 주가별 전환사채 그래프(그림의 라벨: refixing-floor)를 시작으로 Updating rule을 통해 현재의 전환가격 9750 KRW의 주가별 전환사채 그래프를 완성한다. 4장에서의 설명에 따라 현재의 전환가격 C_k는 9750 KRW이며 C₁은 하한인 7800 KRW이 된다. 이제 현재 전환가격 C_k를 기준으로 가능한 미래의 전환가격 리스트{C₁,⋯,C_k}에 따라 각 전환가격 별로 CB와 COCB의 연립 편미분방정식 V와 U를 구성한다. 이후 l = 1,⋯,k-1 순서대로 s ≤ C_l에 속하는 U, V(S,t,C_l)의 값으로 U, V(S,t,C_l+1)을 갱신하며 Updating rule을 통해 최종적으로 U, V(S,t,C_k)의 가격 그래프를 만들어 낸다. 이 과정이 그림의 선 refixing-floor와 refixing-current 사이의 엷은 선들로 표시되고 있다. 평가 모델에서 가능한 전환가격{C₁,⋯,C_k}의 간격은 하한이 20%이므로 설명의 편의상 1%인 97.5 KRW로 하였으며 이 경우 가능한 전환가격의 리스트는 {7800, 7897.5, 7995, ⋯ , 9,652.5, 9750 }가 된다. 이후 다음 평가일이 되면 전환가격 재조정 조건에 따라 전환가격은 상승 혹은 하락할 수 있다. 다음 평가일에 전환가격이 상승/하락하는 경우에도 그 상승/하락한 전환가격을 기준으로 다시 위의 과정을 통해 재조정 조건과 발행자의 콜옵션을 가진 전환사채의 재평가일 공정가치를 구할 수 있다.

Figure 3.

Pricing Graph for Convertible Bond in TF Model

전환가격 재조정 조건이 없는 가격(그림의 라벨: no-refixing, 빨간 점선) 대비 차이는 전환가격 재조정 조건의 가치를 의미한다. 평가시점 주가 14250을 기준으로 왼쪽 그래프의 14634는 전환가격 재조정이 있는 전환사채의 가격이며 14630은 전환가격 재조정 조건을 삭제한 가격이다. 오른쪽 그래프의 16682는 전환가격 재조정이 있는 가격이며 16164는 전환가격 재조정 조건을 삭제한 가격이다. 이 그래프를 통해 전환가격 재조정 조건의 가치가 발행자의 콜옵션 유무에 따라 큰 차이를 보이며 전환사채의 평가에 있어 각 조건의 상호작용을 고려해야 함을 알 수 있다.

콜옵션이 존재할 경우를 의미하는 왼쪽 그래프에서 Strike-1, ⋯, Strike-n으로 표시한 부분은 발행자의 콜옵션 행사가 가능한 가격인 전환가격들의 140%를 의미한다. 해당 상품의 경우 발행자의 콜옵션 행사는 옵션 행사 고시 후 실행까지 기간 이전에 전환을 강제하는 효과를 주게된다. 이는 <Figure 4>의 최하단 붉은 실선 그래프(그림의 라벨: Conversion Boundary: With Call)에서 전환가격의 경계와 콜옵션의 행사 경계가 일치하는 모습으로 확인할 수 있다.

Figure 4.

Conversion Boundaries for TF Models with and Without Call Options

발행자의 콜옵션이 존재하는 경우 전환가격 재조정 조건의 유무에 따른 채권가격 차이는 <Table 2>의 GapⅠ과 GapⅡ에서 볼 수 있다. <Table 2>에서 (NR)은 전환가격 재조정 조건이 없다는 가정을 표시한 것이며 (NC)는 콜옵션이 없다는 가정을 표시한 것이다. (NC, NR)는 전환가격 재조정 조건과 콜옵션이 모두 없다는 가정을 표시한 것이다. GapⅠ은 콜옵션이 포함된 경우의 전환가격 재조정 조건의 가치변화를 의미한다. 콜옵션 행사가 가능한 13650 KRW(현재 전환가격 9,750원의 140%)에서부터 차이가 급격히 적어지며 15,000 KRW 이상에서 두 그래프가 일치하여 콜옵션 행사로 인해 전환가격 재조정에 따른 가격의 이득이 소멸됨을 보여준다.

Table 2.

Convertible Bond Price with and Without Call Option and Refixing Clause in TF Model

GapⅡ는 발행자의 콜옵션이 포함되지 않은 경우의 전환가격 재조정 조건의 가치변화를 의미한다. 콜옵션의 행사가 없으므로 주가가 높아지더라도 전환가격 재조정 조건의 가치가 소멸되지 않는 것을 볼 수 있다. 이를 통해 전환가격 재조정 조건의 가치가 콜옵션의 유무에 영향을 받는다는 것을 알 수 있다. 이는 전환사채에 내재된 콜옵션과 전환권, 전환가격 재조정 조건들이 독립적으로 평가될 수 없음을 실증적으로 보인 것이다.

Kimura and Shinohara(2006)의 경우와 같이 전환가격 재조정 조건만을 포함한 경우와는 다르게 그 외 다른 조건까지 포함하는 전환사채의 평가는 내재된 조건들 간의 상호작용까지 평가 모델 내에 포함해야 한다. 이 부분에서 본 논문에서 제시한 평가 방법이 전환가격 재조정 조건과 그 외 조건들을 함께 포함한 전환사채를 평가하는 데 유용한 모델임을 알 수 있다.

5.2 콜옵션의 유무에 따른 전환경계 비교

전환경계(Conversion boundaries)란 합리적인 의사결정 하에서 전환사채의 전환권 행사가 일어나는 경계를 의미한다. 이는 현재 전환사채를 전환하지 않고 보유하는 것보다 전환권을 행사하는 것이 유리한 주가의 수준을 의미한다. 일반적으로 전환권과 콜옵션이 동시에 존재할 경우 콜옵션의 전환 강제 효과로 인해 전환 경계선은 콜옵션의 행사 경계와 일치한다. 해당 상품은 전환가격의 140%이상에서 콜옵션 행사가 가능하다. 콜옵션 행사 고시 후 15일의 유예기간이 존재하는 소프트 콜 조건으로서 유예기간 내 매입자에게 전환을 강제하는 효과가 있다. 발행자는 조건이 만족되는 경우 전환사채의 평가가격과 사채의 가격(또는 미리 지정된 상환가격)을 비교하여 전환사채의 평가가격이 우위에 있으면 행사를 진행한다. 이 상품은 조기상환의 경우 원금과 만기보장수익률(YTM)을 적용하여 일할 계산한 경과이자를 부가한 금액을 상환가격으로 명시하고 있다. 이는 연속 15거래일간 발행자의 보통주 종가가 전환가액의 140%를 초과하는 경우 발행자의 콜옵션 행사조건이 충족되며 원금과 경과이자를 합한 금액으로 발행자가 콜옵션을 행사할 수 있다는 뜻이다.

발행자의 콜옵션이 없는 경우와 대비하여 콜옵션이 미국식 옵션이 갖는 이연된 조기행사 프리미엄(delayed exercise compensation)(Kwok, 2008)을 소멸시키는 현상을 전환 경계선의 비교 그래프 <Figure 4>를 통하여 볼 수 있다. <Figure 4>의 세로축은 주가이고, 가로축은 날짜이다. <Figure 4>는 잔여 만기에 따른 전환 경계를 주가 수준을 통하여 보여주고 있다.

⦁ 콜옵션이 존재하는 경우

평가일의 전환가격은 9,750 KRW이다. 가장 아래에 있는 ‘검은 점선 그래프’(라벨: Call Provision Boundary)는 콜옵션의 행사 경계를 나타낸다. 이 경우 TF모형의 가정에서 발행자의 콜 행사가격은 주가와 무관하기 때문에 발행자의 콜옵션 행사 경계는 전환가격의 140%인 패리티 13,650 KRW으로 고정되어 있다. 겹쳐있는 ‘빨간 실선 그래프’(라벨: Conversion Boundary: With Call)는 콜옵션이 있는 경우 전환경계를 표시한 그래프이다. 만기와 떨어져 있으면 콜옵션 행사 경계에 막히게 되나 가까이 가면 행사가격으로 수렴하면서 콜옵션 행사 경계보다 아래에 위치한다. 전환경계가 행사가격으로 수렴하는 이유는 만기에 가까워질수록 전환권의 조기상환 프리미엄이 줄어들기 때문이다.

⦁ 콜옵션이 없는 경우

상단의 ‘검은 실선 그래프’(라벨 Conversion Boundary: With Coupon)는 발행자의 콜옵션 행사가 없음을 가정하고 사채의 쿠폰 지급은 유지시킨 그림이다. 쿠폰을 수취 전 일정 기간 동안 급격히 위로 향하는 전환경계선들은 행사하는 것보다 곧 지급되는 쿠폰을 수취 후 행사하는 것이 더 유리함을 보여준다. 바로 아래의 연속적인 ‘파란색 실선 그래프’(라벨 Conversion Boundary: No Coupon)는 콜옵션 행사와 사채의 쿠폰이 없음을 가정하여 생성된 전환 경계선이다. 쿠폰이 없는 경우와 비교하여 더 높은 주가의 수준에서 전환권 행사가 가능함을 보여준다. 또한 ‘검은 실선 그래프’와 ‘파란색 실선 그래프’의 격차는 만기에 가까울수록 줄어들고 있다. 이는 잔여 만기가 길수록 보유에 따른 쿠폰 획득의 기회가 크기 때문이며 이 경우 보유자는 전환권을 행사하면 미래에 획득 가능한 쿠폰을 포기해야 하므로 쿠폰이 없는 경우 대비 전환 경계가 위로 생성됨을 보여준다. 반대로 잔여 만기가 줄어들수록 쿠폰이 없는 경우의 전환 경계에 수렴하는 모습을 볼 수 있다. <Figure 4>의 가로축의 날짜는 쿠폰지급일 + 1일이다.