시간의 흐름에 따른 CoVaR의 변화를 보기 위해 200일 단위의 이동창을 통해 계산 후, 암호화폐 지수 군집과 타 ETF 군집의 ΔCoVaR의 절댓값을 비교하였다. 이동창을 통해 구간별 ΔCoVaR의 절댓값이 상위 25%, 50%, 75%인 값들과 비교한 결과를 다음 <Figure 1>과 같은 그래프 형태가 나타났다.

Figure 1. 
ΔCoVaR of U.S. ETF & Cryptocurrency Index by period

그래프에서 볼 수 있듯, 암호화폐 지수로 구성된 군집의 ΔCoVaR의 절댓값이 모든 이동창의 이동 구간에서 상위 75% 이하의 값을 가짐을 확인할 수 있었다. 비록 시간이 지날수록 상위 75% ΔCoVaR의 절댓값과 암호화폐 지수의 ΔCoVaR의 절댓값의 차이가 감소하는 추세이긴 하나, 암호화폐 지수의 ΔCoVaR의 절댓값이 여전히 0.2 정도로 작다. 이는 주어진 기간 내에서 암호화폐 지수 군집이 다른 ETF 군집과 비교하여 시스템 리스크에 미치는 영향이 현저히 적음을 의미한다.

시스템 리스크 측정을 위해 주성분들의 수를 달리해가며 암호화폐를 포함한 시스템과 암호화폐를 포함하지 않은 시스템의 흡수 비율을 비교해보았다. 앞서 언급했듯이, 흡수 비율이 1에 가까울수록 N개의 주성분에 의해 크게 좌우되며, 시스템 리스크에 취약하다는 것을 의미한다. 주성분들의 개수에 따른 흡수 비율의 차이는 <Table 1>과 같다.

<Table 1>에서 알 수 있듯, 주성분들의 개수에 상관없이 암호화폐 지수 군집을 포함한 시스템의 흡수 비율이 평균적으로 0.028 정도 작음을 확인하였다. 이는 암호화폐 지수 군집을 포함했을 때 시스템 리스크의 충격이 더 완화됨을 의미한다.

결론적으로 암호화폐 지수 군집을 포함한 시장이 그렇지 않은 시장에 비해 시스템 리스크에 미치는 영향이 더 적었다. 암호화폐 지수의 개수가 현저히 적음에도 불구하고 이러한 결과를 보여준다는 것은 암호화폐 지수의 미국 ETF 시장 도입이 시스템 리스크 관점에서 더 긍정적인 효과를 불러일으킬 수 있다는 것을 의미한다.

모든 투자자는 투자를 통해 최대한 높은 수익을 기대하며 동시에 투자의 변동성, 즉 위험을 회피하고자 한다. 그러나 높은 수익이 기대되는 투자는 높은 수준의 위험을 동반하기 때문에, 높은 수익률을 안정적으로 달성한다는 것은 매우 어려운 일이다. 결국, 투자자는 자신의 성향에 따라 적합한 포트폴리오를 구성하게 된다. 예를 들어, 보수적인 투자 성향의 투자자는 낮은 기대수익률을 가지더라도 낮은 위험도를 가지는 포트폴리오를 원하고, 공격적인 성향의 투자자는 높은 위험도를 감수하고서라도 높은 기대수익률을 가지는 포트폴리오를 원한다. 하지만 모든 투자자는 자신이 원하는 기대수익률을 만족하는 포트폴리오 가운데 가장 낮은 위험도를 가지는 포트폴리오를 선호한다.

이렇게 포트폴리오의 기대수익률과 기대위험은 상충관계(trade-off)이며 이것을 자세히 설명한 것이 1990년에 노벨 경제학상을 수상한 해리 M. 마코위츠(Harry M. Markowitz)가 제시한 ‘포트폴리오 이론(Portfolio Selection Theory)’이다. 마코위츠는 투자자가 포트폴리오를 구성할 경우에, 포트폴리오의 기대수익률과 기대위험도(즉, 수익률에 대한 분산)를 이용할 것을 제안했다. 이러한 마코위츠의 이론을 바탕으로, 정해진 투자 대상 종목에 대하여 투자자가 요구하는 최저요구기대수익률을 만족하면서도 기대위험도를 최소화하는 포트폴리오를 찾을 수 있게 된다(Choi et al., 2013).

본 연구에서는 2018년 12월 31일부터 2021년 12월 31일까지 최근 3년을 분석 기간으로 설정하였으며, 포트폴리오 성과 측정에 있어서 Sharpe 비율을 사용하였다. 이는 투자 포트폴리오의 수익률이 정규분포임을 가정하며, 실제 금융 시장의 수익률은 평균보다 한쪽에 치우쳐져 있다는 점에서 한계점을 가지지만 현대 포트폴리오 이론에서 투자의 위험 대비 수익을 나타내는 가장 대표적인 지수이며, 투자자들이 위험 대비 수익률을 판단하기 위해서 윌리엄 F. 샤프(William F. Sharpe)로부터 제안되었다. 최대 샤프 지수가 높을수록 해당 시장에서 얻을 수 있는 위험 대비 수익이 높다고 할 수 있다. 따라서 더 낮은 수익률을 가지는 유사한 포트폴리오 및 펀드와 비교하여 샤프 지수가 높다면 긍정적으로 판단될 수 있다. 샤프 지수가 1.0 이상일 경우에, 해당 포트폴리오 및 펀드가 유의미하게 평가되는 것이 일반적이지만, 이는 절대적이지 않기 때문에 유사한 상품들과의 비교가 필요하다. n개 자산의 수익률 벡터가 rÎ로 표현되고, 무위험 수익률(risk-free rate) r_f이 존재 할 때, 이 각각의 자산에 투자하는 포트폴리오 wÎ가 존재할 때 이 포트폴리오의 샤프 지수는 다음과 같다.

위의 식에서 E(w^Tr)는 투자 포트폴리오의 기대수익률을, Std(w^Tr)는 투자 포트폴리오 수익률의 표준편차를 의미한다. 본 연구에서는 현시점에서 암호화폐 선물 ETF만이 시장에 상장된 상황에서, 개별 암호화폐 자산들의 카테고리에 기반하여 분류·구성한 현물 상장지수펀드(ETF)의 Sharpe 비율 분석을 통해 미국 ETF 시장 도입 가능성을 평가한다.

접선 포트폴리오(TP: tangency portfolio)란, 샤프지수 최대화의 목적함수를 만족시키도록 구성종목들의 보유비중을 결정한 포트폴리오를 말한다. 이 지점에서 Sharpe 비율은 최대화되고, 이는 효율적 투자선 내에서 위험률 대비 가장 높은 수익률을 얻을 수 있는 지점을 의미한다. 임의의 n개 자산의 수익률 벡터가 rÎ와 같이 표현된다고 가정하자. 이 수익률 벡터의 평균과 공분산을 각각 E(r) = m , Cov(r) = S로, 그리고 n개 자산에 대한 투자 포트폴리오를 wÎ로 표현했을 때, 샤프 지수(Sharpe 비율)를 최대화하는 자산 배분 결정 문제는 다음과 같다.

• subject to lTw= 1
• w = portfolio 가중치 벡터
• μ = expected return vector of n securities
• Σ = return covariance matrix of n securities
• r_f = risk-free rate
• l = n-dimensional vector of ones

하지만 위 식은 컨벡스 최적화 문제에 속하지 않기 때문에, 일반해로 풀었을 때 해답의 최적성을 보장할 수 없다. 따라서 본 연구에서는 Iyengar and Kang (2005)에 제시된 샤프 지수 최대화 문제에 대한 컨벡스 문제로의 재수식화 결과를 활용하였으며, 이는 다음과 같이 나타내어진다.

• subject to lTy = t
• 　　　　　t ≧ 0
• 　　　　　y^TΣy ≦ 1
• yt = portfolio weight vector
• μ_e = excessive expected return vector of n securities
• Σ = return covariance matrix of n securities

여기서 결정변수 y는 n-차원 실수 벡터이며, t는 0보다 크거나 같은 실수이다. 위 식은 QCQP(Quadratically Constrained Quadratic Programming) 문제로 컨벡스 최적화 문제이기 때문에, 일반 solver를 통해 풀어도 매우 효율적으로 해답을 찾을 수 있으며 그 해답의 최적성이 보장된다.

본 연구에서는 일반적인 ETF의 관념 상 공매도를 고려하지 않고 가중치 벡터의 모든 요소의 범위를 양수인 [0.0, 1.0)로 설정하였다(Kim, 2017).

암호화폐 지수들이 기존의 미국 ETF 시스템에 도입되었을 때 새로운 자산군이 될 수 있는지 알아보기 위해 상관관계를 사용하였다. 통상적으로 좋은 투자 대상이라고 부르는 것은 기존의 자산군에 대해서 추가로 다각화가 가능함을 보이는 것이다. Chris et al. (2016)은 기존의 자산군과 새로운 자산의 상관관계의 절댓값이 0에 가까울수록 다각화에 따른 risk 감소 효과가 크며, 일반적으로 상관관계의 절댓값이 0.5 정도면 다각화에 따른 risk 감소 효과가 적합하다고 주장하였다.

미국 ETF 섹터별 암호화폐 지수와의 상관관계 비교는 다음과 같이 이루어졌다. 미국 ETF는 Investing.com에서 제시한 섹터에 따라 금융자산(equity), 채권(bond), 상품 선물(commodity), 환(currency), 기타(others)로 분류하였다. <Table 2>의 표는 섹터별 ETF들의 기초 통계량을 나타낸 것이다. χ²는 D’Agostino-Pearson omnibus test의 통계량이며 우측은 χ²의 p-value로 정규성을 모든 데이터가 정규성을 만족하지 않는 것을 확인할 수 있다. ^*, ^**, ^***은 각각 0.1, 0.05, 0.01 수준에서 해당 데이터의 정규성이 기각됨을 의미한다.

아래의 <Table 3>은 섹터별 수익률 평균으로 계산한 상관관계 행렬이다.

암호화폐 지수들의 움직임은 지난 3년 동안 다른 섹터들의 ETF와 움직임과 분리되었다. 암호화폐 지수는 타 섹터들과 계속해서 낮은 상관관계를 유지하는 유일한 자산이었다.

전체 기간의 상관분석은 기간 내 투자환경 변화를 고려하지 못하므로 분산 효과의 변화 추이를 효과적으로 확인하기 어렵다는 단점이 있다. 이에 본 연구에서는 이동창(moving window)을 통해 연속적인 분산 효과의 변화 추이를 확인하였다. 암호화폐 지수와 타 섹터 ETF들의 상관관계를 200일 간격으로 관찰한 결과는 <Figure 2> 그래프와 같다. 그래프의 x축은 200일 이동창의 첫 날짜를 의미한다.

Figure 2. 
Correlation between ETFs of Each Sector by Rolling

위 그래프를 통해 암호화폐 지수들과 타 섹터 ETF들의 상관관계가 대부분 0.5 이하임과 동시에 타 섹터 ETF들 간의 상관관계보다 월등히 낮음을 확인할 수 있었다. 다만, 특정 기간 동안의 모든 상관관계가 급등하는 현상이 나타났는데, 이는 코로나 발생이라는 대외적인 변수 때문에 나타난 것으로 추정된다. 이 기간에서 또한 암호화폐 지수들과 타 섹터 ETF들의 상관관계가 다른 상관관계들에 비해 월등히 낮음을 확인할 수 있다.

이는 암호화폐 지수가 어떠한 환경에서도 다각화를 가능케 하는 자산으로서 기능함을 의미한다. 따라서 암호화폐 지수의 미국 ETF 시장으로의 도입은 수익 측면에서 이득일 뿐만 아니라 암호화폐 지수가 새로운 투자 자산으로 기능하여 시장의 다양성을 높일 것으로 기대한다.

최대 샤프 지수 측정은 3.1 이론적 배경에서 설명한 모형을 통해 이루어졌으며, 2018년 12월 31일부터 2021년 12월 31일까지의 일별 로그 수익률(log-return)을 사용하였다. 무위험 수익률(risk-free rate)은 10년 미국 국고채 수익률을 기준으로 2.018%로 가정하였다. 기존에 위험 자산만 존재할 경우, 투자자 별 투자 성향의 차이가 존재하기 때문에 효율적 투자선 중 무엇이 선호된다고 이야기하기에는 어려움이 존재한다. 그러나 1-펀드 이론(one-fund theorem)에 따르면, 무위험 자산을 포함함으로써 수익률-위험도 평면에서 가능한 모든 투자 포트폴리오 중 가장 왼쪽 위에 위치하는 투자 포트폴리오를 만들 수 있게 된다. 따라서 무위험 자산에서 시장 포트폴리오로 연결하는 직선인 자본시장선 (capital market line, CML)을 그릴 수 있게 되며 접선 포트폴리오(tangency portfolio)를 구할 수 있다.

본 연구에서는 기존의 미국 ETF 시장으로의 암호화폐 지수 도입에 따른 효율적 경계선(효율적 투자선)의 변화를 분석해 보았다. Markowitz의 포트폴리오 선정 이론에 기반한 분산 투자의 효과로 인하여 포트폴리오의 기대수익률은 감소시키지 않으면서 비체계적인 위험이 줄어들 것으로 예상된다. 효율적 경계선은 현대 포트폴리오 이론의 가장 상징적인 개념 중 하나로 평가된다. 자산별 포트폴리오 비율을 설정하는 데 있어 몬테카를로 시뮬레이션 기법을 적용하였으며 무작위로 생성하였다. <Figure 3>에서는 효율적 경계선을 시각화한 결과이다.

Figure 3. 
Efficient Frontier

2019년 기존의 미국 ETF 시장과 암호화폐 지수 도입 이후 미국 ETF 시장 포트폴리오의 최대 Sharpe 비율은 5.982이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.08, 0.01로 나타났다. 정리하자면 Sharpe 비율 측면에서는 암호화폐 지수의 도입 효과가 미미한 것으로 보이나, 효율적 경계선 측면에서는 도입 효과가 충분히 있는 것으로 나타났다. 따라서 이는 동일 기대수익률 대비 더욱 안정적인 투자를 할 수 있다고 본다.

2020년 기존의 미국 ETF 시장 포트폴리오의 최대 Sharpe 비율은 2.331이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.23, 0.09로 나타났다. 암호화폐 지수 도입 이후 미국 ETF 시장의 접선 포트폴리오의 Sharpe 비율은 2.698이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.29, 0.1로 나타났다. 정리하자면 Sharpe 비율 및 효율적 경계선 측면 모두 암호화폐 지수의 도입 효과가 충분히 있는 것으로 나타났다. 따라서 기대수익률 및 위험도 측면에서 투자자가 더욱 효율적인 투자를 가능케 할 것으로 보인다.

2021년 기존의 미국 ETF 시장과 암호화폐 지수 도입 이후 미국 ETF 시장 포트폴리오의 최대 Sharpe 비율은 3.596이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.2, 0.05로 나타났다. 정리하자면 Sharpe 비율 및 효율적 경계선으로부터 암호화폐 지수의 도입 효과는 미미한 것으로 해석할 수 있다.

전체 분석 기간(2018.12.31 - 2021.12.31)에서의 기존의 미국 ETF 시장 포트폴리오의 최대 Sharpe 비율은 2.833이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.29, 0.09로 나타났다. 암호화폐 지수 도입 이후 미국 ETF 시장 포트폴리오의 최대 Sharpe 비율은 3.05이며, 이때 수익률과 위험도는 각각 0.34, 0.1로 나타났다. 정리하자면 전체 분석 기간 동안 암호화폐 지수의 도입은 투자 위험 대비 수익률 측면에서 긍정적인 효과를 보였다.